Střední hodnota fyzikálních veličin . část 2
Jestli.e pravděpodobnost výskytu částice ve stavu, v ni. nějaká fyzikální hodnota nabývá konkrétní hodnoty u, je dP, pak střední hodnota této veličiny je zřejmě rovna
.
(Jedná se o vztah z matematické teorie pravděpodobnosti, který nemá s fyzikou nic společného, leda snad to, .e se ve fyzice pou.ívá). Problém mů.e nastat ve způsobu výpočtu integrálu, poněvad. z hlediska matematiky je zapotřebí, aby výraz, který se integruje, byl funkcí integrační proměnné, co. v předchozím vztahu obecně splněno není. Předchozí vztah lze snadno pou.ít pro výpočet střední hodnoty souřadnice
,
poněvad. elementární pravděpodobnost dP lze vyjádřit jako , tak.e lze psát

Při zápisu jsme vyu.ili matematický poznatek, .e druhou mocninu absolutní hodnoty komplexního čísla lze vyjádřit jako součin tohoto komplexního čísla s číslem k němu komplexně sdru.eným (označeným v předchozí rovnici hvězdičkou). Podobně lze vypočíst
střední hodnotu libovolné jiné fyzikální veličiny, je. je funkcí souřadnice
(*)
Konkrétně: Potenciální energie U je pouze funkcí polohy, tj. U = U(x), a tedy pro její střední hodnotu platí

Bohu.el, naprostá vět.ina fyzikálních veličin (např. kinetická energie, hybnost, moment hybnosti a jejich slo.ky) se nedá vyjádřit jako funkce souřadnic, a proto předchozí výsledek nelze pou.ít. Pro výpočet středních hodnot fyzikálních veličin je zapotřebí najít obecněj.í cestu. Vhodnou mo.ností je pou.ití operátorů, tj. obecně předpisů, které říkají, jaká operace se má provést s výrazem za operátorem. Ukázalo se, .e ka.dé fyzikální veličině F lze přiřadit její operátor, který se bude nadále označovat symbolem . Pro střední hodnotu libovolné fyzikální veličiny pak analogicky k předchozím vztahům platí
dx (**)
Přesto.e rovnice (*) a (**) jsou si formálně na první pohled podobné, je mezi nimi podstatný rozdíl . v rovnici (*) se vlnová funkce vynásobí funkcí f(x), zatímco v rovnici (**) na vlnovou funkci Ψ působí operátor , co. je operace daleko obecněj.í, ne. je násobení funkcí

souřadnic f(x). Z porovnání rovnic (*) a (**) ihned vyplývá, .e operátory fyzikálních veličin, které jsou funkcemi souřadnic f(x), se redukují na pouhé násobení vlnové funkce Ψ(x) příslu.nou funkcí souřadnic f(x). Pro ostatní fyzikální veličiny je zapotřebí jim příslu.ející operátory zkonstruovat.
Matematická vlo.ka: Operátory
V této chvíli se zaměříme pouze na popis operátoru a jeho vlastností; prozatím bude operátor pouze jedním z matematických nástrojů fyziky, podobně jako je vektorová algebra a diferenciální počet matematickým nástrojem klasické mechaniky nebo jako je vektorová analýza (operace divergence, gradient a rotace) matematickým nástrojem pro teorii elektromagnetického pole. Pojem operátoru představuje zobecnění představy o operacích v matematice. Vět.ina operátorů je dobře známa ji. ze základní či střední .koly a jejich znalost je pro posluchače vysokých .kol vět.inou samozřejmá. Nová je v.ak terminologie a kontext. Operátor je symbol pro matematický předpis, který říká, jaká matematická operace se má provést s výrazem za operátorem. Operátory zpravidla působí na funkce, tj. výsledkem působení operátoru na nějakou funkci je obecně nějaká jiná funkce či číslo. Obecně pí.eme

Tento zápis znamená, .e operátor působí na funkci f a výsledkem tohoto působení, tj. operace, která se s funkcí f provádí, je funkce g. Nejbě.něj.ími operátory jsou + (operátor součtu; říká, .e se k výrazu před operátorem má přičíst výraz za operátorem), x (operátor násobení; říká, .e se funkce, která následuje za operátorem, má vynásobit výrazem před operátorem), (operátor odmocniny; říká, .e se funkce stojící za operátorem má odmocnit) nebo (operátor integrace; říká, .e se funkce následující za operátorem má integrovat). V kvantové fyzice se nejčastěji vyskytují diferenciální operátory, tj. operátory, které vyjadřují, .e se funkce následující za operátorem má zderivovat. Příklady diferenciálních operátorů jsou např. následující:



Operátorů lze z matematického hlediska zkonstruovat velké mno.ství. V kvantové fyzice se pou.ívají takové operátory, které mají následující dvě vlastnosti:
• linearita


• hermiticita

Funkce, které tuto podmínku splňují, se nazývají normované vlnové funkce a v dal.ím budeme předpokládat, .e v.echny dále pou.ívané funkce tuto podmínku splňují. (Pokud by tento po.adavek nebyl splněn, je mo.né vydělit nenormovanou funkci Ψ výrazem , nače. tato nová vlnová funkce by ji. normovací podmínku splňovala).
Charakter vlnové funkce, popisující stav částice, je tedy podstatně odli.ný od charakteru analogické funkce popisující elektromagnetické vlnění, tj. závislosti intenzity elektrického či magnetického pole (popř. indukce) na čase a souřadnicích. Zatímco u elektromagnetického pole udává hodnoty funkce E(x,y,z,t) hodnotu intenzity elektrického pole v daném místě prostoru a v daném čase, a je to tedy veličina, kterou lze (alespoň principiálně) naměřit; vlnová funkce Ψ udává .pouze. výskyt částice v daném stavu a .ádný přímo měřitelný výsledek neposkytuje. Při měření se daná částice na daném místě prostoru a v daném čase buď nachází nebo nenachází . to jsou jediné dva mo.né výsledky experimentu s jednou konkrétní částicí. Teprve při opakování experimentu s velkým počtem částic se ukazuje, .e elementární pravděpodobnost dP, .e daná částice v daném stavu se bude v dané části prostoru

dV nacházet, je rovna , nače. pravděpodobnost výskytu částice je úměrná počtu částic nacházejících se v objemu dV, co. u. je měřitelná veličina

Pravděpodobnostní význam vlnové funkce (HRW 40.3)
V experimentech s fotony (tepelné záření, fotoefekt) mělo vlnění související s fotonem jednoduchou fyzikální interpretaci . bylo to elektromagnetické vlnění, tj. v prostoru existovalo časově proměnné elektromagnetické pole. Nabízí se otázka, jaký význam má vlnová funkce, resp. jaký charakter má vlnění, jeho. frekvence a vlnová délka jsou popsány de Broglieovými vztahy, .co to je za vlnění., .vlnění čeho..
Vlnová funkce Ψ vyjadřuje stav částice a nelze ji spojovat s nějakou konkrétní měřitelnou veličinou, jakou je např. u elektromagnetického vlnění intenzita elektrického pole E či magnetická indukce B. Také její hodnotu nelze měřit. Vlnová funkce popisuje výskyt částice v určitém stavu, tj. v určité části prostoru a v určitém čase; veličinaje hustotou pravděpodobnosti výskytu částice v dané poloze, tedy výraz udává elementární pravděpodobnost, .e se částice vyskytuje v části prostoru o objemu dV. Pí.eme:
,
přičem. dP udává pravděpodobnost, .e se částice popsaná vlnovou funkcí Ψ nachází v prostorovém útvaru o objemu dV, např. v útvaru ve tvaru kvádru (x, x+dx) x (y, y+dy) x (z, z+dz). Pravděpodobnost P0 (ji. nikoli elementární), .e částice se nachází v konkrétní části prostoru V0, je pak dána výrazem:

Pokud částice vůbec existuje, pak se musí někde v prostoru nacházet, a pravděpodobnost jejího výskytu v celém prostoru je rovna 1 (jistotě). Vlnová funkce Ψ(x,y,z) tedy musí splňovat podmínku

Střední hodnoty fyzikálních veličin . část 1
V mezistavu není předem známa hodnota veličiny jedné konkrétní částice. Průměrná hodnota v.ak známa je; lze ji přesně vypočítat a poté také experimentálně ověřit.

Výsledek je mo.né interpretovat takto: Při experimentu s částicí popsanou vlnovou funkcí Ψ se u ka.dé jednotlivé částice zjistí buď energie E1 nebo energie E2, přičem. a. do dosa.ení výsledku měření nebude mo.né říci, které hodnoty to bude. Měřením v jednotlivých po sobě následujících experimentech se tedy bude vytvářet soubor jednotlivě změřených hodnot energie s tím, .e energie E1 se bude vyskytovat v 64 % případů a energie E2 ve 36 % případů. Pokud se experiment bude opakovat dostatečně mnohokrát nebo pokud bude proveden jednou, ale hromadně s velkým počtem částic, bude se střední hodnota energie částice blí.it k hodnotě , přičem. shoda mezi střední hodnotou energie zji.těnou z experimentů a teoreticky očekávanou hodnotou bude tím lep.í, čím vět.í počet částic se bude experimentu účastnit.
Je tedy zřejmé, .e pro .výslednou. střední hodnotu energie mají velký význam koeficienty a1 a a2. Tento poznatek se nyní pokusíme formulovat přesněji.

Jedná se o představu,

která je v klasické fyzice nemyslitelná. (Představme si například, .e . v analogii k částici . máme auto a .e jsou zadány jisté omezující podmínky, které popisují jeho pohyb. V závislosti na počátečních podmínkách se pak auto bude v daném čase t nacházet např. v místě o souřadnici x1 a o rychlosti v1, není v.ak mo.né a ani vůbec představitelné, .e by se nacházelo . v tomté. čase a za shodných počátečních podmínek . např. v místě o souřadnici x2 a o rychlosti v2). Dá se také říci, .e stav Ψ1 je ve stavu Ψ zastoupen úměrně |a1|2 a stav Ψ2 je ve stavu Ψ zastoupen úměrně |a2|2.
Příklad: Nechť je dána vlnová funkce Ψ. Pak stav Ψ1 je ve stavu Ψ zastoupen úměrně číslu 0,82 = 0,64, tj. pravděpodobnost, .e částice bude nabývat hodnoty energie E1 a hodnoty hybnosti p1, je rovna 64 %. Analogicky stav Ψ2 je ve stavu Ψ zastoupen úměrně číslu 0,62 = 0,36, tj. pravděpodobnost, .e částice bude nabývat hodnoty energie E2 a hodnoty hybnosti p2, je rovna 36 %.
V této souvislosti se pou.ívá pojem ostrá a neostrá hodnota. Říkáme, .e energie a hybnost mají ve stavech Ψ1 a Ψ2 ostrou hodnotu, ve stavu Ψ neostrou hodnotu. V kvantové fyzice se často vyskytují takové stavy, v nich. má jedna veličina ostrou hodnotu, zatímco druhá veličina má neostrou hodnotu.

Tento stav

je z hlediska obou dvou předchozích stavů jakýmsi .mezistavem. mezi stavy Ψ1 a Ψ2. Pro jednoduchost budeme dále uva.ovat, .e součet čtverců je roven jedné. (Pokud by tento po.adavek nebyl splněn, je mo.né vydělit funkci Ψ výrazem , a poté by ji. koeficienty u funkcí Ψ1 a Ψ2 tento po.adavek splňovaly).
Vzniká otázka, jak se má tento princip superpozice interpretovat, jakou energii a hybnost tato částice nacházející se v .mezistavu. má. Interpretace je následující: Jestli.e budeme provádět experiment s částicemi popsanými touto vlnovou funkcí, budeme získávat jako výsledky měření energie hodnoty E1 nebo E2 a hodnoty hybnosti p1 nebo p2, ale .ádné jiné. Jestli.e provedeme experiment s dostatečně velkým počtem částic, uká.e se, .e částice o energii E1 a hybnosti p1 jsou ve výsledku experimentu zastoupeny v počtu, který je úměrný výrazu |a1|2 a analogicky, .e částice o energii E2 a hybnosti p2 jsou ve výsledku experimentu zastoupeny v počtu, který je úměrný výrazu |a2|2 . Před provedením experimentu nemů.eme ani při znalosti podmínek experimentu říci předem, jaké hodnoty ta která konkrétní částice nabude. Zjednodu.eně řečeno, částice se a. v okam.iku realizace experimentu .rozhodne., jaké hodnoty bude nabývat, a v tomto smyslu je tedy chování jedné individuální částice

nepředpověditelné.

Vlnová funkce

má tvar jednoduché harmonické funkce definované na celé ose x, a popisuje tedy volnou částici pohybující se v kladném směru osy x. Harmonická funkce se v celém svém průběhu, v intervalu od . ∞ do + ∞, nijak nemění, periodicky se opakuje, .je pořád stejná.. Proto se také volná částice mů.e nacházet v libovolném místě, její poloha není nijak omezena a současně ani nijak určena. Z porovnání de Broglieových vztahů a předchozí rovnice vyplývá, .e volná částice má energii a hybnost . Významem amplitudy A se budeme zabývat dále. Později její hodnota vyplyne z po.adavku, aby vlnová funkce byla normována (viz dále). Zatím budeme předpokládat (ani. by obsah tohoto pojmu byl jasný), .e vlnové funkce, které zde budou pou.ívány, normovány jsou.
Základním principem kvantové mechaniky je princip superpozice. Jeho obsahem je následující tvrzení: Jestli.e se částice mů.e nacházet ve stavu Ψ1 (přesněji řečeno ve stavu popsaném vlnovou funkcí Ψ1) a dále jestli.e se mů.e za tých. podmínek nacházet ve stavu Ψ2 (přesněji řečeno ve stavu popsaném vlnovou funkcí Ψ2), pak se také mů.e nacházet ve stavu, který je popsán lineární kombinací obou uvedených vlnových funkcí, tj. ve stavu Ψ, kde platí:

Volná částice

V kvantové fyzice se často pou.ívá pojem .volná částice.. Tímto pojmem se rozumí částice, která není podrobena .ádným silovým omezením a která ani není vázána na nějakou omezenou část prostoru. Je to částice, o ni. se ví pouze to, .e má hmotnost m, kinetickou energii E a popř. hybnost p. Je to pouze abstrakce, něco podobného jako ideální plyn nebo dokonalý nevodič, ale je u.itečná pro dal.í výklad.
Vlnová funkce volné částice vyhlí.í následovně

Vlnová funkce

Matematickým popisem stavu částice je její vlnová funkce, pro kterou se zpravidla pou.ívá označení Ψ, popř. Ψ(x,y,z,t), aby se tak vyznačily nezávislé proměnné, na nich. hodnota vlnové funkce závisí. Hledání vlnových funkcí a jejich následující interpretace je jednou z hlavních náplní činnosti v kvantové fyzice. Později se uká.e, .e pro popis částice není zapotřebí pracovat s celou vlnovou funkcí, ale pouze s některými vybranými hodnotami, které z této vlnové funkce vyplývají.

Základní představy kvantové mechaniky

Ústředním pojmem kvantové mechaniky je .stav. částice. Pojem .stav. se pou.íval ji. i v klasické fyzice, zde v.ak předev.ím jako stav systému (např. v termodynamice). Pokud se v klasické fyzice vyskytovala částice, pou.ívaly se k jejímu popisu veličiny jako poloha, rychlost, hybnost, energie, zrychlení atd. Částice se poté pova.ovala za plně popsanou, jestli.e byly vý.e uvedené veličiny známy popř. jestli.e je alespoň bylo mo.no určit. Klasická fyzika nepředpokládala, .e by tyto veličiny nemusely mít smysl, a rozli.ovala v podstatě pouze dvě mo.nosti . veličiny jako poloha, rychlost atd. jsou známy (a poté je částice plně popsána) nebo tyto veličiny známy nejsou (např. v systémech o velkých počtech částic, např. ve statistické fyzice), nicméně jednoznačně existují a je to pouze problém nedostatečné výpočetní kapacity či neznámých počátečních podmínek, .e je nedoká.eme stanovit. Stav částice (pokud se tento pojem v klasické fyzice vůbec pou.il) je v klasické fyzice pouze souhrnem jejích jednotlivých parametrů. V kvantové fyzice je pojetí pojmu stav přesně opačné . částice se v.dy nachází v nějakém stavu, který je plně popsán jistou vlnovou funkcí. Pokud se částice nachází v nějakém stavu, pak je mo.né, .e nějaká veličina, která je k této částici přiřazena (např. poloha či rychlost), mů.e mít přesně a jednoznačně měřitelnou hodnotu, ale je také mo.né, .e v daném stavu vůbec není mo.né dané částici nějakou určitou hodnotu příslu.né veličiny přiřadit. To je představa, která je v klasické fyzice zcela neznámá.
Stav částice je tedy tím primárním, výchozím, co danou částici charakterizuje, a v.echny ostatní veličiny jsou tedy od ní odvozené. V kvantové mechanice se proto často pou.ívá obrat .částice v tomto stavu má takovou a takovou rychlost (polohu, energii atd.)..

Částice v mikrosvětě

se v.ak chovají jinak ne. objekty v makroskopickém světě a platí pro ně jiné zákony, toti. zákony nového oboru fyziky, který se začal vyvíjet právě ve 20. a 30. letech 20. století a pro který se ustálil název kvantová mechanika (někdy také ve star.í literatuře vlnová mechanika). Přesněji řečeno: Zákony kvantové mechaniky jsou univerzální fyzikální zákony, které platí v celém nám známém vesmíru, a tedy nutně také i v na.em makrosvětě. V rovnicích kvantové fyziky v.ak vystupuje hmotnost objektů, přičem. se vzrůstající hmotností objektů se jejich chování přibli.uje klasickým představám, tak jak jsou vyjádřeny např. Newtonovými zákony. Pro částice s hmotností vět.í ne. hmotnost jednoho atomu u. prakticky není zapotřebí pou.ívat rovnice kvantové mechaniky a při jejich popisu se plně vystačí s rovnicemi klasické mechaniky. Pro popis chování objektů s men.í hmotností . např. elektronů . je v.ak kvantová mechanika ji. nezbytná, poněvad. jejich chování, které je poté pro praktické aplikace tak důle.ité (pásová struktura pevných látek a na ní zalo.ená ve.kerá fyzika a technologie polovodičů), ji. nelze na základě klasické mechaniky objasnit.

Planckova konstanta

Konstanta h se nazývá Planckova konstanta a její hodnota činí . Rovnice vyjadřující fotoelektrický jev je v podstatě zákonem zachování energie a vyjadřuje mechanismus fotoefektu: Ka.dý dopadající foton mů.e předat svou energii právě jednomu elektronu. Tato energie se zčásti spotřebuje na překonání energetické bariéry oddělující vnitřek kovu od jeho vněj.ku (výstupní práce) a zbytek energie je odnesen vyra.eným elektronem v podobě kinetické energie. Není mo.ný mechanismus, při něm. by vět.í počet jednotlivých nízkoenergetických fotonů (tj. fotonů dlouhovlnného záření) postupně dodával energii jednomu konkrétnímu elektronu, nače. by do.lo k jeho emisi z kovu poté, co by se v něm naakumulovala energie vy..í ne. výstupní práce, a to hlavně proto, .e neexistuje (není znám) mechanismus, který by zajistil, .e energie dopadajících fotonů bude předána právě jednomu vybranému elektronu a nikoli .e bude rozptýlena do celého kovu.
Vlnová povaha částic (HRW 39.6)
Jakmile bylo zji.těna, .e objekt, který byl a. dosud znám jako vlnění, vykazuje částicové vlastnosti, vznikla celkem přirozeně otázka, zda tomu nemů.e být i naopak a zda není mo.né, aby objekty, dosud známé jako částice, měly také vlnové vlastnosti . se v.emi důsledky s tím spojenými. V roce 1924 vyslovil francouzský fyzik Louis de Broglie hypotézu, .e klasické

elementární částice (proton, elektron, neutron, ionty atd.) mají nejen částicovou povahu, ale také vlnovou, tj. .e mohou vystupovat v podobě vlnění, ohýbat se a interferovat. Vlnové charakteristiky částic, tj. předev.ím vlnová délka λ, frekvence f a vlnové číslo vlnění příslu.ného k částici jsou dány vztahy:
,
a

Konstanta ħ vystupující v předchozích vztazích se nazývá Diracova konstanta. Je dána vztahem
,
kde h je Planckova konstanta, a její hodnota činí .
Tato hypotéza byla v roce 1927 prokázána Davissonovým . Germerovým pokusem. Oba fyzici navrhli experiment, při něm. ostřelovali monokrystal kovu nízkoenergetickými elektrony a pozorovali rozlo.ení intenzity odra.ených elektronů. Očekávali spojité rozlo.ení odra.ených elektronů . co. se mělo na světlocitlivé vrstvě (fotografii) projevit jako kruhová skvrna s pomalu a plynule slábnoucím zčernáním směrem od středu k okraji . ale namísto toho obdr.eli soustavu zřetelných soustředných kru.nic, tj. pravidelné střídání světlých a tmavých kruhových prou.ků. Tmavé prou.ky odpovídaly místům, kam elektrony dopadaly velmi často (a proto tam film zčernal), zatímco světlé prou.ky byly na těch místech, kam dopadlo málo elektronů a kde tedy film nezčernal. Experiment ukázal, .e elektrony se chovají podobně jako světlo při průchodu tenkou dielektrickou vrstvou, tj. .e se chovají jako vlnění, které se láme a odrá.í na rovinách odpovídajících krystalickým rovinám v monokrystalu a následně interferuje jako obyčejné vlnění.
Teprve daleko později, a. v roce 1961, byl proveden modelový experiment, při kterém se nechal dopadat svazek elektronů na .těrbinu a na stínítku se poté pozorovala nikoli pouze stopa elektronového svazku (tj. obraz .těrbiny .promítnutý. na stínítku, podobně jako stopa elektronového svazku v televizoru), nýbr. interferenční obrazec, podobně jako tomu je u interferenčního obrazce vzniklého při dopadu světla na .těrbinu.
Ve 20. a 30. letech 20. století tedy z experimentů vyplynul v obecné podobě následující poznatek: Určité charakteristiky látek (např. energie, hybnost, poloha) mohou v mikrosvětě nabývat pouze diskrétních, nespojitých hodnot.
Tento poznatek je v hlubokém rozporu s dosavadními, .klasickými. fyzikálními představami. A. dosud byly charakteristiky hmotných objektů spojité. Pokusme se navrhnout analogii v oblastech ka.dodenního .ivota, které jsou v.em dobře známé. Pokud máme např. auto jedoucí po silnici, asi ka.dý bez zaváhání uvede, .e poloha auta na dálnici se mění spojitě a .e rychlost auta se rovně. mění spojitě. My.lenka, .e by rychlost auta mohla nabývat pouze diskrétních hodnot nebo .e by se auto mohlo nacházet pouze v diskrétních polohách a v .ádných jiných, by se patrně setkala s posměchem či v lep.ím případě s nevírou, poněvad. by to bylo něco, co odporuje na.í ka.dodenní zku.enosti.

Poznámka:

Max Planck formuloval svůj poznatek o tom, .e světlo mů.e přená.et a předávat energii pouze po kvantech, jako postulát (axióm). Jedná se tedy o základní poznatek, který nelze nijak odvodit z jiných fyzikálních zákonitostí a který platí pouze proto, .e v.echny experimentální výsledky jsou s ním souladu a .ádný s ním není v rozporu. Proto nemá smysl klást otázku, proč se záření chová jako proud fotonů. Korektní odpověď by toti. asi měla znít: Příroda to tak prostě zařídila a nějaké hlub.í důvody, proč to tak je, neexistují, resp. dnes je neznáme a pokud jsou, pak le.í za hranicemi dne.ního fyzikálního poznání.
V souvislosti s chováním světla se nabízí otázka . co je světlo .doopravdy., .skutečně. ? Je to proud částic nebo je to elektromagnetické vlnění ? A zde začíná jeden z problémů moderní fyziky . na danou otázku neexistuje jednoznačná odpověď. Světlo se někdy chová jako vlnění a lze jej tedy popisovat prostředky příslu.nými pro vlnění (vlnová rovnice, rovnice výchylky, skládání vlnění, ohyb vlnění) a někdy vystupuje jako proud částic s jednoznačně definovanými hybnostmi a energiemi. Říkáme, .e světlo má duální (dvojitý) charakter . vlnový a částicový (korspuskulární). Dualita vlastností je přitom vnitřní vlastností světla, světlo neexistuje jinak ne. duálně.

Vysvětlení obou dvou jevů je mo.né na základě představy, předlo.ené německým fyzikem Maxem Planckem v roce 1900, .e světlo nemů.e předávat energii spojitě . jak by se to dalo u spojitého vlnění očekávat . ale po určitých dávkách, jejich. energetický obsah (tj. mno.ství energie, které s sebou přená.ely) je.tě navíc nebyl neustále tentý., nýbr. měnil se podle jeho vlnové délky. Pro tuto nejmen.í dávku energie se postupně v.ilo označení kvantum. Později se ukázalo, .e toto kvantum mů.e interagovat s elementárními částicemi zcela mechanickým způsobem (Comptonův jev) a .e tedy vykazuje nejen energii, ale i svou vlastní hybnost. Jestli.e nějaký objekt . který reálně existuje, co. je u kvant světla nepochybně splněno . má

vlastní energii i hybnost, pak na něj lze pohlí.et jako na částici. Záření lze potom chápat jako proud jednotlivých částic, pro které platí bě.né (mechanické) zákony zachování hybnosti a energie. Kvantum světelného záření se nazývá foton.

Tepelné záření

představovalo podobný problém. Experimentálně bylo pozorováno, .e tělesa při zahřívání vyzařují viditelné světlo (červeně .hnoucí rozpálený sporák, pěkně pozorovatelný zejména za tmy) a .e čím je teplota tělesa vy..í, tím více se maximum intenzity vyzařovaného světla posouvá ke krat.ím vlnovým délkám (.elezné ingoty v hutích mají barvy od červené přes oran.ovou po .lutou a. nakonec bílou). Vysvětlení samotného faktu, .e zahřátá tělesa vyzařují elektromagnetické záření, nebylo problémem; problémy se v.ak začaly vynořovat při hledání spektrální vyzařovací funkce, tj. funkce udávající zastoupení jednotlivých vlnových délek ve spektru vyzařovaného světla v závislosti na teplotě. Zde dokázala klasická fyzika poskytnout vysvětlení v.dy pouze pro krátkovlnnou či dlouhovlnnou část spektra (Raleighův - Jeansův zákon, Wienův zákon), nikoli ale pro obě části spektra současně.
Při vysvětlování obou jevů se předpokládalo, .e světlo je vlnové povahy, tj. .e se jedná o vlnění o krátkých vlnových délkách. Zdálo se přitom, .e představa, .e světlo je druh elektromagnetického vlnění, je zcela přijatelná, poněvad. tato představa vedla k uspokojivému vysvětlení řady jiných optických jevů (interference a difrakce).