Stav, kdy vlnová funkce je vlastní funkcí jednoho operátoru a současně není vlastní funkcí druhého operátoru, je ov.em pořád je.tě velice příznivá. Zkusme se podívat na situaci z jiného úhlu pohledu: Určitá konkrétní fyzikální situace, tj. určitý konkrétní stav částice v mikrosvětě, je popsán jednou konkrétní vlnovou funkcí ψ. Ta představuje úplný popis částice a jejího stavu. Nyní ov.em existuje velké mno.ství operátorů fyzikálních veličin, obecně poloha, hybnost, energie, moment hybnosti atd. Proto bude zřejmě často nastávat případ, kdy studovaná vlnová funkce nebude vlastní funkcí ani jednoho ze dvou nekomutujících operátorů a G. Za takovýchto okolností ani jedna z veličin F a G nenabývá ostré hodnoty. To znamená, .e při opakovaném měření veličiny F budeme získávat různé hodnoty, které budou vykazovat určitý nenulový rozptyl, tj. určitou nenulovou střední kvadratickou odchylku δF od střední hodnoty . Stejně tak tomu bude u veličiny G . jejím měřením budeme získávat různé hodnoty, které budou vykazovat určitý nenulový rozptyl, tj. určitou nenulovou střední kvadratickou odchylku δG od střední hodnoty . Opět je třeba podotknout, .e pozorovaná střední kvadratická odchylka není důsledkem nízké přesnosti měření, ale .e to je obecná vlastnost částice . rozmazanost či neostrost hodnoty fyzikální veličiny.
Kvantová fyzika umo.ňuje zformulovat závěr předchozího odstavce i matematicky a uvést jakési meze nepřesností při stanovování fyzikálních veličin. Nechť dva operátory a G nekomutují a nechť pro ně platí

Poznámka: Skutečnost, .e u auta jedoucího po dálnici lze v praxi současně stanovit polohu i rychlost, je dána tím, .e z kvantově mechanického pohledu se auto nachází v určitém stavu, jeho. vlastní hodnoty jedné veličiny (např. rychlosti či naopak souřadnice) le.í v těsné blízkosti vedle sebe, ať ji. diskrétně nebo spojitě. Mů.e nastat taková situace, .e vlnová funkce popisující auto na dálnici je vlastní funkcí operátoru hybnosti, a proto tedy mů.eme stanovit rychlost auta zcela přesně. Tato vlnová funkce popisující auto na dálnici v.ak ji. nemů.e být vlastní funkcí operátoru souřadnice, proto.e operátory hybnosti a souřadnice nekomutují. Proto souřadnice (poloha) auta ji. není ostrá, ale rozmazaná. Potud je v.e principiálně jasné (snad), ale jak to, .e tedy auto ve skutečnosti má přesnou polohu i přesnou rychlost (policie to doká.e zaznamenat zcela přesně) ? Vysvětlení je takové: Hodnota souřadnice je neostrá a rozmazaná, ale pouze v intervalu, který je pro prakticky dosa.itelnou přesnost měření polohy na dálnici zcela bezvýznamný, např. u auta nacházejícího se na kilometru 100 na dálnici bude tento interval například (100 000,000 000 001 ; 100 000,000 000 002) v metrech měřených od Prahy. Tj. .rozmazanost. údaje polohy je a. 15. (slovy patnáctém) platném místě, tj. na úrovni meziatomových vzdáleností v krystalech. Pro praktickou aplikace . současné stanovení polohy a rychlosti auta . je tedy tato rozmazanost zcela bez významu. Rozmazání takového řádu bude mít ov.em význam na atomární či subatomární úrovni.

Jak ov.em ji. z kapitoly o komutativnosti operátorů víme, je tento stav spí.e výjimkou, poněvad. operátory spolu častěji spí.e nekomutují ne. komutují. To ale znamená, .e bě.ným (převa.ujícím) případem bude situace, kdy studovaná vlnová funkce ψ je vlastní funkcí jednoho operátoru (např. energie) a ji. nikoli vlastní funkcí nějakého jiného operátoru G (např. souřadnice). To pak znamená, .e částice ve stavu popsaném touto vlnovou funkcí ψ nabývá ostré hodnoty veličiny F, ale .e hodnoty veličiny G jsou ji. rozmazány; veličina G má neostrou hodnotu. To je právě jedna z novinek, kterou kvantová fyzika přiná.í: Jestli.e jedna z měřených veličin má ostrou hodnotu, pak druhá veličina ji. ostrou hodnotu mít nemusí. Tomu je třeba jasně rozumět: Nejedná se o nějakou nedokonalost měřicí aparatury, ale o vnitřní základní vlastnost hmoty . přesné určení jedné fyzikální veličiny principiálně vylučuje mo.nost přesného stanovení jiné fyzikální veličiny. Je to opět jeden z rysů kvantové fyziky, který je v klasické fyzice zcela neznámý.
Představme si analogii opět s autem jedoucím po dálnici. Podle předchozího odstavce je mo.né z dvojice fyzikálních veličin popsaných nekomutujícími operátory přesně určit v.dy nejvý.e jednu z nich; u druhé veličiny lze určit pouze nějakou střední hodnotu. Typické nekomutující operátory jsou operátory souřadnice a hybnosti. Zřejmě tedy v souladu s vlastnostmi nekomutujících operátorů lze u auta jedoucího po dálnici určit pouze například souřadnici, ale ji. nikoli hybnost (tj. vlastně rychlost). My.lenka, .e jakmile určíme u pohybujícího se auta jeho polohu, nelze ji. určit jeho rychlost, je něco zcela nového (a pro dopravní polici sledující dodr.ování povolené rychlosti by to bylo velice nepříjemné). Je to prostě poznatek, který je v hlubokém rozporu s na.imi dosavadními zku.enostmi s objekty z makrosvěta. Nicméně i navzdory zku.enostem z makrosvěta je poznatek o omezení současné měřitelnosti dvou fyzikálních veličin platný.

Souhrnně lze říci,

.e fyzikální veličiny nabývají ostrých hodnot v těch stavech, které jsou popsány vlastními funkcemi operátoru příslu.né fyzikální veličiny. Např. částice bude mít ostré hodnoty hybnosti tehdy, jestli.e se bude nacházet ve stavu, který bude popsán vlnovou funkcí, je. bude vlastní funkcí operátoru hybnosti. Pokud se částice bude nacházet ve stavu, který je popsán vlnovou funkcí, která ale ji. není vlastní funkcí operátoru hybnosti (je například superpozicí takovýchto funkcí), pak hybnost v tomto stavu (tj. .mezistavu.) ji. nebude mít ostrou hodnotu, ale bude nabývat jednotlivých hodnot úměrně tomu, jak jsou jednotlivé vlastní funkce operátoru hybnosti .zastoupeny. v superponované vlnové funkci popisující daný mezistav.
Současná měřitelnost fyzikálních veličin a Heisenbergovy relace neurčitosti (HRW 39.8)
V kapitole o komutativnosti operátorů bylo uvedeno, .e pokud lze dva různé operátory aplikovat na libovolnou (nikoli pouze jednu) vlnovou funkci, pak tyto operátory komutují. Z pohledu předchozí kapitoly musí být tato vlnová funkce, na ní. oba operátory komutují, vlastních funkcí obou operátorů. Pokud tedy dva operátory komutují, pak to znamená, .e mají společné vlastní funkce; obecněji říkáme, .e mají společný systém vlastních funkcí. Jestli.e je v.ak nějaká vlnová funkce vlastní funkcí operátoru , pak to znamená, .e fyzikální veličina příslu.ející tomuto operátoru nabývá ostré hodnoty F. Analogicky platí, .e kdy. je nějaká vlnová funkce vlastní funkcí jiného operátoru G, pak to znamená, .e fyzikální veličina příslu.ející tomuto operátoru nabývá ostré hodnoty G. Proto.e v případě komutujících operátorů je studovaná vlnová funkce ψ vlastní funkcí obou operátorů, znamená to, .e částice ve stavu popsaném touto vlnovou funkcí ψ má ostré hodnoty veličiny F i veličiny G . a ty se pak dají zjistit měřením.

Funkce vyhovující těmto po.adavkům se nazývá regulární.
Na první pohled tyto po.adavky vypadají celkem .přirozeně., av.ak ve skutečnosti představují pro vlnové funkce velice vá.né omezení, tak.e z velkého spektra funkcí, které splňují rovnici pro vlastní hodnoty operátoru, zůstane pouze nějaká jejich podmno.ina. Analogicky způsobí po.adavky regularity vlnové funkce to, .e vlastní hodnoty operátoru budou také nějakým způsobem omezeny; obecně budou tvořit pouze nějakou podmno.inu mno.iny v.ech komplexních čísel. Vlastní hodnoty operátorů mohou být v konkrétních případech buď diskrétní hodnoty nebo spojité hodnoty (např. intervaly dovolených hodnot) nebo mohou být spojité v celém reálném intervalu.

Mění se zde tedy pojetí vlnové funkce a ostré hodnoty fyzikální veličiny. A. dosud jsme při v.ech úvahách (mlčky) předpokládali, .e vlnovou funkci známe, a operátor jsme aplikovali na ji. existující vlnovou funkci (například při výpočtu střední hodnoty). Nyní v.ak budeme prostřednictvím operátoru přímo hledat vlnovou funkci, a to tak, .e vy.adujeme, aby byla splněna poslední rovnice, která se nazývá rovnice pro vlastní hodnoty operátoru. Vlnová funkce, která se získá ře.ením rovnic pro vlastní hodnoty operátoru, se pak nazývá vlastní funkcí (daného operátoru).
Vzhledem k tomu, .e vlastní funkce popisuje reálné stavy částice, musí tato vlnová funkce splňovat jakési po.adavky. Vlastní funkce musí být:
• spojitá
• nenulová
• ohraničená
• kvadraticky integrovatelná a
• v prostoru jednoznačná.

Střední kvadratická odchylka je zřejmě mírou toho, jak se hodnoty dané fyzikální veličiny při opakovaných měření rozptylují okolo střední hodnoty. Poněvad. odmocnina vystupující v definici střední kvadratické odchylky je nepohodlná, pracuje se zpravidla s její druhou mocninou, tj. . explicitně řečeno . s druhou mocninou střední kvadratické odchylky, neboli se střední hodnotou druhé mocniny odchylky od střední hodnoty. Odchylka je fyzikální veličinou jaká ka.dá jiná, a proto pro ni lze definovat také její operátor, tj. operátor odchylky od střední hodnoty

Poté lze definovat operátor druhé mocniny odchylky od střední hodnoty vztahem

a dále pak vypočíst střední hodnotu druhé mocniny odchylky od střední hodnoty. Na výpočet střední hodnoty libovolné veličiny, a tedy i střední hodnoty druhé mocniny odchylky od střední hodnoty, lze pou.ít operátorový výraz (**). Bude tedy platit
(***)

Nyní chceme, aby střední kvadratická odchylka této fyzikální veličiny od střední hodnoty byla rovna nule, tj. aby částice ve stavu popisovaném touto funkcí měla ostrou hodnotu. Znamená to, .e musí být splněna rovnice

V této rovnici se za integrálem (***) objevuje druhá mocnina absolutní hodnoty vlnové funkce, a integrál tedy mů.e být roven nule pouze tehdy, je-li alespoň jedna z funkcí v součinu za integrálem rovna nule. Musí tedy platit:
Ψ
neboli

Pokud bude tato rovnice splněna, pak uva.ovaná veličina nabývá hodnoty F, která je toto.ná její střední hodnotou . neboli daná veličina nabývá neustále stále té.e hodnoty F, která je tedy ostrou hodnotou této veličiny. Tedy podmínkou pro to, aby daná veličina měla ostrou hodnotu F, je to, .e vlnová funkce popisující stav částice bude vyhovovat poslední rovnici, přičem. hodnota F vystupující v poslední rovnici bude právě tou ostrou hodnoty, které má částice v daném stavu nabývat.

Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátorů

Podíváme se poněkud podrobněji na hodnotu veličiny, kterou částice v určitém stavu má. Rozli.ovali jsme dva základní případy . určitá veličina má buď ostrou hodnotu nebo neostrou hodnotu. Pokud má ostrou hodnotu, znamená to, .e se při opakovaných měřeních za identických podmínek bude pozorovat v.dy jedna a tatá. hodnota, toti. ostrá hodnota této veličiny. Naopak, pokud má veličina neostrou hodnotu, pak se při opakovaných experimentech s jednou částicí za tých. podmínek nebo při experimentu, v něm. se pozoruje výsledek současně pro velký počet částic (např. difrakce svazku elektronů), pak se pro ka.dou jednu částici pozoruje jedna určitá hodnota (přičem. nelze předem říci, jaká) a pro v.echny částice dohromady jistá střední hodnota, kterou ji. lze pomocí operátoru dané veličiny stanovit. Jedná se zřejmě o dvě principiálně odli.né situace. Lze si polo.it otázku, za jakých podmínek bude mít určitá částice v jistém stavu ostrou hodnotu.
Za tímto účelem zavedeme střední kvadratickou odchylku od střední hodnoty vztahem

V předchozích výrazech je j imaginární jednotka.

Poznámka: V souvislosti s vý.e uvedenými operátory se nabízí otázka, jak se k nim dospělo, zejména jak se dospělo k operátoru hybnosti. Nebudeme to zde podrobněji rozebírat, v krátkosti lze pouze říci, .e se u operátoru hybnosti v podstatě pou.ilo metody pokus . omyl (jinak řečeno, operátor byl odhadnut, a poté se ukázalo, .e konkrétní tvar operátoru poskytuje správné výsledky, tak.e je asi správný). Operátory ostatních veličin se zkonstruovaly na základě vztahů mezi fyzikálními veličinami, podle nich. se zkonstruovaly analogické vztahy mezi operátory a poté operátory samotné. (Konec poznámky)
Na základě předchozího přehledu lze nalézt střední hodnotu hybnosti (resp. její x-ové slo.ky) takto:

Příklad: Střední hodnota hybnosti částice, popisované součtem dvou exponenciál
Nechť je stav částice superpozicí dvou různých stavů volné částice. V jednom stavu nechť je energie částice E1 = ħω1 a její hybnost p1 = ħk1 a ve druhém stavu nechť je energie částice E2 = ħω2 a její hybnost p2 = ħk2. Pak je stav této částice popsán vlnovou funkcí
,
přičem. vlnové funkce příslu.ející k oběma původním stavům jsou normované, tj. platí:



a vlnová funkce příslu.ející výslednému superponovanému stavu (.mezistavu.) je normovaná rovně.:

Výpočtem postupně obdr.íme




Komutativnost operátorů
Při aplikování operátorů je významné, v jakém pořadí jsou aplikovány. Z pohledu matematiky je evidentní, .e pořadí matematických operací obecně zaměňovat nelze; např. pokud provádíme s dvěma čísly dvě operace . sečítání a odmocňování . obdr.íme v závislosti na pořadí operací různý výsledek, buďnebo. V kvantové fyzice hrají významnou úlohu takové operátory, u nich. nezále.í, v jakém pořadí je na zvolenou (prozatím libovolnou) funkci aplikujeme. Takové operátory se nazývají komutativní a platí pro ně:
,
neboli při jejich aplikaci na vlnovou funkci Ψ platí

Pokud předchozí rovnice není splněna, říkáme, .e operátory a G spolu nekomutují, a pak zavádíme rozdílový operátor , nazývaný komutátor:
.
Z porovnání s matematikou je patrné, .e dvojice operátorů budou častěji spí.e nekomutativní ne. komutativní. Mezi sebou nekomutují např. operace sečítání a odmocňování, operace násobení proměnnou x a derivování podle proměnné x, operace odmocňování a derivování a

řada jiných dvojic (párů) matematických operací. Naopak mezi sebou komutují operace násobení a odmocňování nebo operace násobení proměnnou x a derivovaní podle jiné proměnné, např. y nebo z. Případ, kdy dvojice operátorů mezi sebou komutuje (tj. řečeno jednoduchou če.tinou: lze je uplatnit na jakoukoli funkci v libovolném pořadí), je spí.e výjimkou a má speciální fyzikální význam, související s problematikou současné měřitelnosti fyzikálních veličin. Před studiem problematiky současné měřitelnosti fyzikálních veličin je v.ak zapotřebí přesněji specifikovat, za jakých okolností nabývá fyzikální veličina ostré hodnoty a za jakých neostré hodnoty (kdy tedy je v mezistavu).